M70-01 표본공분산
표본공분산
표본공분산($S_{XY}$)
$$\eqalign{S_{XY}&=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\cr&=\dfrac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}X_i Y_i-n\bar{X}\bar{Y}\right)}$$
여기서, $n$은 표본크기
$\sum\limits_{i=1}^{n}X_i=0$
$\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i=0$
M70-02 모상관계수 t검정
모상관계수 T검정
모상관계수$t$검정
모상관계수($\rho_{XY}$)
$$\rho_{XY}=\dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$$
$$\eqalign{\rho_{XY}&=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_{X}\sigma_{Y}}\cr&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)(Y_i-\mu_Y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(X_i-\mu_X)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(Y_i-\mu_Y)^2}}\cr&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{N}X_i Y_i-N\mu_X\mu_Y}{\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^{N}X_i^2-N\mu_X^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{N}Y_i^2-N\mu_Y^2\right)}}}$$
여기서, $N$은 유한집단크기 : 무한집단인 경우 $N → ∞$
$\sum\limits_{i=1}^{N}X_i=0$
$\sum\limits_{i=1}^{N}Y_i=0$
표본상관계수($r_{XY}$)
$$\eqalign{r_{XY}&=\dfrac{S_{XY}}{S_{X}S_{Y}}\cr&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2}}\cr&=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}X_i Y_i-n\bar{X}\bar{Y}}{\sqrt{\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2-n\bar{X}^2\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i^2-n\bar{Y}^2\right)}}}$$
여기서, $n$은 표본크기
$\sum\limits_{i=1}^{n}X_i=0$
$\sum\limits_{i=1}^{n}Y_i=0$
모상관계수($\rho$)의 $t$검정
귀무가설
$$H_0:\rho=\rho_0$$
여기서, $\rho_0$는 귀무가설일 때 모상관계수 : 상관이 없으면 $\rho_0=0$
검정통계량
$$t=\dfrac{r-\rho_0}{\dfrac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{n-2}}}$$
여기서, $\rho_0$는 귀무가설일 때 모상관계수 : 상관이 없으면 $\rho_0=0$
$r$은 표본상관계수
귀무가설하에서의 검정통계량$(t)$은 자유도가 $(n-2)$인 $t$분포를 따르고 유의수준이 $\alpha$일 때 임계값은 다음과 같습니다.
단측검정
$$t_{\alpha;n-2}$$
양측검정
$$t_{\frac{\alpha}{2};n-2}$$
모상관계수$(\rho)$ $t$검정표
| 귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량의 값 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
| $\rho=\rho_0$ |
$$t=\dfrac{r-\rho_0}{\dfrac{\sqrt{1-r^2}}{\sqrt{n-2}}}$$
여기서, $\rho_0$는 귀무가설일때 모상관계수 : 상관이 없으면 $\rho_0=0$ $r$은 표본상관계수 |
$\rho<\rho_0$ | $t<-t_{\alpha;n-2}$ |
| $\rho>\rho_0$ | $t>t_{\alpha;n-2}$ | ||
| $\rho\neq \rho_0$ | $\mid{t}\mid>t_{\frac{\alpha}{2};n-2}$ |
M70-03 결정계수(coefficient of determination)
결정계수(coefficient of determination)
$$R^2=\dfrac{설명된변동}{총변동}=\dfrac{SS_{Reg}}{SS_T}=1-\dfrac{SS_{Res}}{SS_T}$$
M70-04 단순선형회귀분석 - 제곱합과 자유도의 분할
단순선형회귀분석 – 제곱합과 자유도의 분할
단순선형회귀분석 – 제곱합과 자유도의 분할
제곱합
$$SS_T=SS_{Reg}+SS_{Res}$$
자유도
$$n-1=1+(n-2)$$
여기서, $n$은 표본크기
M70-05 단순선형회귀분석표
단순선형회귀분석표
| 제곱합 (sum of squared) |
자유도 (degrees of freedom) |
제곱평균 (mean of squared) |
검정통계량 (test statistic) |
|
| 회귀 (Regression) |
$SS_{Reg}$ | $1$ | ${MS}_{Reg}=\dfrac{SS_{Reg}}{1}$ | $F_0=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}$ |
| 잔차 (Residual) |
$SS_{Res}$ | $n-2$ | $MS_E=\dfrac{SS_{Res}}{n-2}$ | |
| 총 (Total) |
$SS_T$ | $n-1$ | $MS_T=\dfrac{SS_T}{n-1}$ |
M70-06 단순선형회귀분석 F검정
단순선형회귀분석 F검정
단순선형회귀분석 $F$검정
귀무가설
$$H_0\ :\ \beta_1=\beta_{1,0}$$
대립가설
$$H_1\ :\ \beta_1\ne \beta_{1,0}$$
검정통계량
$$F_0=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}\gt F_{1,n-2;\alpha}$$
| 귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량의 값 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
| $$ \beta_1=\beta_{1,0}$$ | $F_0=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}$ | $\beta_1<0$ | 검정통계량으로 $\beta_1$이 음수인지 알 수 없다. |
| $\beta_1>0$ | 검정통계량으로 $\beta_1$이 양수인지 알 수 없다. | ||
| $$ \beta_1 \ne \beta_{1,0}$$ | $F_0\gt F_{1,n-2;\alpha}$ |