M100-01 단순선형회귀모형
단순선형회귀모형
$$Y=f(X,\beta_0,\beta_1)=\beta_0+\beta_1 X$$
$$Y_i=\beta_0+\beta_1 X_i+\epsilon_i$$
여기서, $i=1,2,\cdots,n$
$n$은 표본크기
$$\hat{Y}_i=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}X_i$$
여기서, $i=1,2,\cdots,n$
$n$은 표본크기
M100-02 잔차
잔차
$$e_i=Y_i-\hat{Y}_i$$
여기서, $i=1,2,\cdots,n$
$n$은 표본크기
M100-03 최소제곱법 - 잔차제곱합
최소제곱법 – 잔차제곱합
$$\sum_{i=1}^{n}{\epsilon_i}^2=\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\beta_0-\beta_{1} X_i)^2$$
M100-04 최소제곱법 - 표본기울기
최소제곱법 – 표본기울기
최소제곱법으로 구한 표본기울기 추정량
$$\hat{\beta_1}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$$
$$\hat{\beta_0}=\bar{Y}-\hat{\beta_1}\bar{X}$$
$$\eqalign{\hat{\beta_1}&=\dfrac{S_{XY}}{S_X^2}\cr&=\dfrac{r{S_X}{S_Y}}{S_X^2}\cr&=r\dfrac{S_Y}{S_X}}$$
여기서, $r$은 표본상관계수(피어슨상관계수)
$S_{XY}$는 확률변수 $X$와 $Y$의 표본공분산
$S_X^2$는 확률변수 $X$의 표본분산
$S_X$는 확률변수 $X$의 표본표준편차
$S_Y$는 확률변수 $Y$의 표본표준편차
M100-05 정규방정식
정규방정식(normal equation)
$$a\cdot n+b\sum_{i=1}^{n}X_i=\sum_{i=1}^{n}Y_i$$
$$a\sum_{i=1}^{n}X_i+\sum_{i=1}^{n}{X_i}^2=\sum_{i=1}^{n}X_iY_i$$
M100-06 표본내분산
표본내분산
$$S_{Y}^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{Y}_i)^2}{n-1}$$
여기서, $n$은 표본크기
M100-07 단순선형회귀모형 - 모절편 추론
단순선형회귀모형 – 모절편 추론
모기울기$(\beta_1)$ 점추정량
$$\hat{\beta_1} =\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$$
모절편$(\beta_0)$ 점추정량
$${\bar Y}-{\bar X}\hat{\beta_1}$$
$${\bar Y}-\hat{\beta_1} =\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}$$
표본절편$(\hat{\beta_0})$의 표집의 확률분포는 정규분포
$$\hat{\beta_0}\sim N\left(\beta_0, \dfrac{\sigma_{Res}^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}\right)$$
표본절편$(\hat{\beta_0})$의 표준오차
$$\mathrm{SE}(\hat{\beta_0})=\dfrac{S_{Res}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}}$$
모절편$(\beta_0)$ 신뢰구간
$$\beta_0=\hat{\beta_0}\pm t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}\cdot \mathrm{SE}(\hat{\beta_0})$$
모절편$(\beta_0)$ $t$검정
귀무가설
$$H_0\ :\ \beta_0=\beta_{0,0}$$
검정통계량
$$t=\dfrac{\hat{\beta_0}-\beta_0}{\mathrm{SE}(\hat{\beta_0})}$$
귀무가설 기각역
대립가설이 $H_1: \beta_0\lt\hat{\beta_0}$ 이면 $t\lt -t_{n-2;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \beta_0\gt\hat{\beta_0}$ 이면 $t\gt t_{n-2;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \beta_0\ne\hat{\beta_0}$ 이면 $\left|t_o\right|\gt t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}$
단순선형회귀모형 모절편$(\beta_0)$ $t$검정표
귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량의 값 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
$ \beta_0=\hat{\beta_0}$ | $t=\dfrac{\hat{\beta_0}-\beta_0}{\mathrm{SE}(\hat{\beta_0})}$ | $\hat{\beta_0}<\beta_{0,0}$ | $t<-t_{n-2;\alpha}$ |
$\hat{\beta_0}>\beta_{0,0}$ | $t>t_{n-2;\alpha}$ | ||
$\hat{\beta_0}\ne\beta_{0,0}$ | $\left|t\right|\gt t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}$ |
M100-08 단순선형회귀모형 - 모기울기 추론
단순선형회귀모형 – 모기울기 추론
모기울기($\beta_1$) 점추정량
$${\beta_1}\sim N\left(\hat{\beta_1},\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{\bar{X}^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}\right)\sigma_{Res}^2\right)$$
여기서, $\sigma_{Res}^2$은 잔차(Residual)의 모분산
$t$확률분포에서의 표본기울기$(\hat{\beta_1})$의 표준오차
$$\mathrm{SE}(\hat{\beta_1})=S_{Res}\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{\bar{X}^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}}$$
여기서, $S_{Res}$는 잔차(Residual)의 표본표준편차
모기울기$(\beta_1)$ 신뢰구간
$$\beta_1=\hat{\beta_1}\pm t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}\cdot \mathrm{SE}(\hat{\beta_1})$$
모기울기$(\beta_1)$ $t$검정
귀무가설
$$H_0\ :\ \beta_1=\beta_{1,0}$$
검정통계량
$$t=\dfrac{\hat{\beta_1}-\beta_{1,0}}{\mathrm{SE}(\hat{\beta_1})}$$
귀무가설 기각역
대립가설이 $H_1: \alpha\lt\alpha_0$ 이면 $t\lt-t_{n-2;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \alpha\gt\alpha_0$ 이면 $t\gt t_{n-2;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \alpha\ne\alpha_0$ 이면 $\left|t_o\right|\gt t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}$
단순선형회귀모형 모기울기$(\beta_1)$ $t$검정표
귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량의 값 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
$$\beta_1=\hat{\beta_1}=\beta_{1,0}$$ | $$t=\dfrac{\hat{\beta_1}-\beta_{1,0}}{\mathrm{SE}(\hat{\beta_1})}$$ | $ \alpha\lt\alpha_0$ | $t\lt-t_{n-2;\alpha}$ |
$ \alpha\gt\alpha_0$ | $t\gt t_{n-2;\alpha}$ | ||
$ \alpha\ne\alpha_0$ | $\left|t\right|\gt t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}$ |
M100-09 단순선형회귀모형 - 평균값 추론
단순선형회귀모형 – 평균값 추론
평균값
$$\mu_{Y|X}=\beta_0+{\beta_1}X_0$$
여기서, $X_0$는 $X$의 평균값
평균값의 점추정량
$$Y_0=\beta_0+{\beta_1} X_0$$
표본평균값$(\hat{Y}_0)$의 표준오차
$$\mathrm{SE}(\hat{Y}_0)=S_{Res}\sqrt{\dfrac{1}{n}+\dfrac{\bar{X}^2}{\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}}$$
평균값의 신뢰구간
$$\mu_{Y|X}=\hat{Y}_0\pm t_{n-2;\frac{\alpha}{2}}\mathrm{SE}(\hat{Y}_0)$$
M100-10 중선형회귀모형
중선형회귀모형
중선형회귀모형
$$Y_i=\beta_o+\beta_1 X_{i1}+\cdots+\beta_k X_{ik}+\epsilon_i$$
여기서, $n$은 표본크기
$$Y=X\beta+\epsilon$$
$$
Y=
\begin{bmatrix}
Y_1 \\
Y_2 \\
\vdots \\
Y_n
\end{bmatrix},
X=
\begin{bmatrix}
1 & X_{11} & X_{12} & \cdots & X_{1k} \\
1 & X_{21} & X_{22} & \cdots & X_{2k} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & X_{n1} & X_{n2} & \cdots & X_{nk}
\end{bmatrix},
\beta=
\begin{bmatrix}
\beta_0 \\
\beta_1 \\
\vdots \\
\beta_k
\end{bmatrix},
\epsilon=
\begin{bmatrix}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\vdots \\
\epsilon_n
\end{bmatrix}
$$
M100-11 중선형회귀분석 - 잔차
중선형회귀분석 – 잔차
중선형회귀분석 – 잔차
$$e_i=Y_i-\hat{Y}_i=Y_i-(b_0+b_1 X_{i1}+\cdots +b_k X_{ik})$$
M100-12 중선형회귀분석 - 잔차제곱합
중선형회귀분석 – 잔차제곱합
중선형회귀분석 – 잔차제곱합
$$SS_{Res}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\epsilon_i}^2=\epsilon^{\prime}\epsilon=(Y-X\beta)^{\prime}(Y-X\beta)$$
여기서, $n$은 표본크기
M100-13 중선형회귀분석 - 잔차벡터
중선형회귀분석 – 잔차벡터
중선형회귀분석 – 잔차벡터
$$\bf{e}=\bf{Y}-\bf{X{\beta_1}}$$
M100-14 중선형회귀분석 - 잔차표준오차
중선형회귀분석 – 잔차표준오차
중선형회귀분석 – 잔차표준오차
$$\mathrm{SE}(Residual)=\sqrt{\dfrac{1}{n-p-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(Y_i-\hat{Y}_i)^2}$$
여기서, $p$는 원인변수의 수
$n$은 표본크기
M100-15 중선형회귀분석 - 제곱합과 자유도의 분할
중선형회귀분석 – 제곱합과 자유도의 분할
중선형회귀분석 – 제곱합과 자유도의 분할
제곱합
$$SS_T=SS_{Reg}+SS_{Res}$$
자유도
$$n-1=p+(n-p-1)$$
여기서, $n$은 표본크기
$p$는 원인변수 개수
M100-16 중선형회귀분석 - 중선형회귀분석표
선형회귀분석 – 중선형회귀분석표
중선형회귀분석 – 중선형회귀분석표
$$\hat{\beta_i}\sim\mathrm{N}(\beta_i,c_{ii}\cdot \sigma^2)$$
여기서, $i=0,1,\cdots,p$
제곱합 (sum of squared) |
자유도 (degrees of freedom) |
제곱평균 (mean of squared) |
검정통계량 (test statistic) |
|
회귀 (Regression) |
$SS_{Reg}$ | $p$ | ${MS}_{Reg}=\dfrac{SS_{Reg}}{p}$ | $F=\dfrac{MS_{Reg}}{MS_{Res}}$ |
잔차 (Residual) |
$SS_{Res}$ | $n-p-1$ | $MS_{Res}=\dfrac{SS_{Res}}{n-p-1}$ | |
총 (Total) |
$SS_T$ | $n-1$ | $MS_T=\dfrac{SS_T}{n-1}$ |
M100-17 중선형회귀모형 - 회귀계수 추론
중선형회귀모형 – 회귀계수 추론
중선형회귀모형 – 회귀계수 추론
모회귀계수($\bf{\beta_i}$)
모회귀계수 점추정량
$$\bf{\hat{\beta_i}}$$
표본회귀계수의 표준오차
$$\mathrm{SE}(\bf{\hat{\beta_i}})=\sqrt{c_{ii}}\cdot S$$
모회귀계수 신뢰구간
$$\bf{\beta_i}=\bf{\hat{\beta_i}}\pm t_{n-k-1;\frac{\alpha}{2}} \mathrm{SE}(\bf{\hat{\beta_i}})$$
모회귀계수 $t$검정
귀무가설
$$H_0: \bf{\beta_i}=\bf{\beta_{i,0}}$$
검정통계량
$$t=\dfrac{\bf{\hat{\beta_i}}-\bf{\beta_{i,0}}}{\mathrm{SE}(\bf{\hat{\beta_i}})}$$
귀무가설 기각역
대립가설이 $H_1: \beta_i\lt\beta_{i0}$ 이면 $t\lt -t_{n-k-1;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \beta_i\gt\beta_{i0}$ 이면 $t\gt t_{n-k-1;\alpha}$
대립가설이 $H_1: \beta_i\ne\beta_{i0}$ 이면 $\left|t\right|\gt t_{n-k-1;\frac{\alpha}{2}}$
중선형회귀모형 $t$검정표
귀무가설$(H_0)$ | 검정통계량의 값 | 대립가설$(H_1)$ | 귀무가설 기각역 |
$ \beta_i=\beta_{i0}$ | $t=\dfrac{\hat{\beta_i}-\beta_{i0}}{\mathrm{SE}(\hat{\beta_i})}$ | $ \beta_i\lt\beta_{i0}$ | $t\lt -t_{n-k-1;\alpha}$ |
$ \beta_i\gt\beta_{i0}$ | $t\gt t_{n-k-1;\alpha}$ | ||
$ \beta_i\ne\beta_{i0}$ | $\left|t\right|\gt t_{n-k-1;\frac{\alpha}{2}}$ |